24.1.2垂直于弦的直径 ——垂径定理及其推论一、新课导入1.导入课题：圆是轴对称图形吗？这节课我们从圆的轴对称性出发探究圆的相关性质.(板书课题)2.学习目标：(1)能通过折纸探究圆的轴对称性，能证明圆是轴对称图形.(2)能由圆的轴对称性推导垂径定理及其推论.(3)能利用垂径定理解决相应问题.3.学习重、难点：重点：圆的轴对称性、垂径定理及其推论. 难点：利用垂径定理进行计算或证明.二、分层学习1.自学指导：(1)自学内容：教材第81页“探究”——圆的轴对称性.(2)自学时间：2分钟.(3)自学方法：完成探究提纲.(4)探究参考提纲：①操作：用纸剪一个圆形纸片，沿着圆的任意一条直径所在直线对折，重复几次.a. 通过上面的折纸，圆是轴对称图形吗？有几条对称轴？是轴对称图形，有无数条对称轴.b. “圆的任意一条直径都是它的对称轴”这种说法对吗？若不对，应该怎样说？不对，应该说圆的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴.②猜想：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.③证明：怎样证明圆是轴对称图形呢？a. 要证圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在直线的对称点也在圆上.b. 怎样证明两点关于已知直线对称？两点的连线被已知直线垂直平分.c. 如图，设cd是⊙o的任意一条直径，a为⊙o上异于点c,d的任意一点，过a作aa′⊥cd，垂足为m.交⊙o于点a′，下面只需证明a′是点a关于直线cd的对称点. 如图，连接oa,oa′.在△oaa′中，∵oa=oa′，∴△oaa′是等腰三角形.又aa′⊥cd,∴am=ma′.即cd是aa′的垂直平分线.∴点a′、a关于直径所在的直线对称即圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.2.自学：学生可结合探究提纲，相互研讨学习.3.助学：(1)师助生：①明了学情：关注证明过程的逻辑性与规范性.②差异指导：指导学生探究证明思路.(2)生助生：小组内相互交流、研讨.4.强化：(1)圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.(2)要证某图形是轴对称图形，只需证明该图形上任意一点关于对称轴的对称点也在这个图形上.1.自学指导：(1)自学内容：教材第82页例2之前的部分.(2)自学时间：8分钟.(3)自学方法：完成探究提纲. (4)探究参考提纲：①垂径定理：b.归纳：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.②垂径定理的推论：b. 反例：当弦aa′为直径时，结论还成立吗？为什么？不成立，因为任意两条直径都互相平分，但不一定垂直.c. 限定：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 2.自学：学生可结合自学指导相互研讨学习.3.助学：(1)师助生：①明了学情：了解学生由数学现象概括数学结论时出现的困惑和错误.②差异指导：依据学情进行个别指导或分类指导.(2)生助生：小组内相互交流研讨、订正结论.4.强化:(1)从图形、文字和式子三个方面对垂径定理及其推论进行解读.(2)垂径定理的条件：过圆心，垂直于弦；结论：平分弦，平分弦所对的两条弧.1.自学指导：(1)自学内容：教材第83页“练习”第1题. (2)自学时间：4分钟.(3)自学方法：完成探究提纲.(4)探究提纲：①线段oe满足垂径定理的题设条件：条件1：ab是弦；条件2：oe⊥ab. ②依据垂径定理得， ae=12ab=be.③要求⊙o的半径，只需连接oa，在rt△aoe中，由勾股定理，就可求得⊙o的半径为5.④给出你的解答过程：2.自学:同学们可结合自学指导进行自学.3.助学:(1)师助生：①明了学情：观察学生是否会构造直角三角形，书写过程是否规范.②差异指导：从解题思路的探究、辅助线的添加和解题过程的书写等方面给予指导.(2)生助生：生生互动交流、研讨、订正.4.强化:(1)常规辅助线：过圆心作弦的垂线段.(2)设圆的半径为r，弦长为a，圆心到弦的距离为d，则有 因此，在这三个量中已知其中两个量就可以求出第三个量.(3)练习：如图，已知⊙o的半径为1，弦ab的长为，求圆心o到弦ab的距离.解：如图，作oe⊥ab，垂足为e，则oe垂直平分ab. 1.自学指导：(1)自学范围：教材第82页例2.(2)自学时间：6分钟.(3)自学方法：阅读、思考、总结、提高.(4)自学参考提纲：2.自学：学生依据自学指导自主学习.3.助学：(1)师助生：①明了学情：从解题思路的探究、辅助线的添加和解题过程的书写等方面了解学生的学习情况.②差异指导：根据学情合理指导.(2)生助生：小组内相互交流、研讨.3.强化：(1)强调常规辅助线和解题规范.(2)练习：如图是一条水平铺设的直径为2m的通水管道横截面，其水面宽为1.6m，则这条管道中的水最深为0.4m. 三、评价1.学生的自我评价(围绕三维目标)：在这节课的学习中你有哪些收获？还有何困惑？2.教师对学生的评价：(1)表现性评价：点评学生学习的态度、积极性、小组交流协作情况和存在的问题等.(2)纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价(教学反思)：(1)这节课的教学从利用垂径定理来解决赵州桥桥拱半径问题开始，引入课题从实验入手，得到圆的轴对称性，进而推出垂径定理及推论.教学设计中，从具体、简单、特殊到抽象、复杂、一般，层层递进，有利于提高学生的数学思维能力，同时，注意加强对学生的启发和引导，培养学生大胆猜想，小心求证的科学研究素质.(2)本课时的教学方法是将垂径定理和勾股定理有机结合，将圆的问题转化为直角三角形，常作的辅助线是半径或垂直于弦的直径.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固(80分)1.(10分) 下列说法中正确的是(b) a. 在同一个圆中最长的弦只有一条b. 垂直于弦的直径必平分弦c. 平分弦的直径必垂直于弦d. 圆是轴对称图形，每条直径都是它的对称轴2.(10分)如图，⊙o的弦ab垂直于半径oc，垂足为d，则下列结论中错误的是(c) a. ∠aod=∠bod b. ad=bd c. od=dc 3.(10分)半径为5的⊙o内有一点p，且op=4，则过点p的最长弦的长是10，最短弦的长是6.4.(10分)如图，在⊙o中，ab、ac为互相垂直且相等的两条弦，od⊥ab于d，oe⊥ac于e.求证：四边形adoe是正方形. 证明：∵ab⊥ac，od⊥ab，oe⊥ac. ∴四边形adoe是矩形.又∵od垂直平分ab，oe垂直平分ac,ab＝ac,∴ae＝ac＝ab＝ad,∴四边形adoe是正方形.5.(10分)如图，在半径为50mm的⊙o中，弦ab的长为50mm.求： (1)∠aob的度数；(2)点o到ab的距离.解：(1)∵oa=ob=ab=50mm，∴△aob是等边三角形，∴∠aob=60°.(2)作om⊥ab，则∠aom=∠aob=30°.即点o到ab的距离为25mm. 6.(10分)如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点o为圆心的圆的一部分，如果m是⊙o中弦cd的中点，em经过圆心o交⊙o于点e,并且cd=4m,em=6m.求⊙o的半径.解：连接oc. ∵om平分cd,om⊥cd且cm=md=cd=2m. 设半径为r，在rt△ocm中，oc=r，om=em-oe=6-r,由勾股定理得oc2=cm2 om2，即r2=22 (6-r)2.解得r=，即⊙o的半径为m.8.(10分)如图，两个圆都以点o为圆心.求证：ac=bd. 证明：过o作oe⊥ab，垂足为e，连接oa,oc,od,ob,则ae=be，ce=de，∴ae-ce=be-de，即ac=bd. 二、综合应用(10分)9.(10分) ⊙o的半径为13cm，ab、cd是⊙o的两条弦，ab∥cd，ab=24cm，cd=10cm，求ab和cd之间的距离.解：分两种情况讨论.第一种情况：当ab、cd在圆心o的同侧时.如图(1)，过点o作om⊥cd，垂足为m，交ab于点e.∵ab∥cd. ∴oe⊥ab. 第二种情况：当ab、cd在圆心o的异侧时，如图(2)，同第一种情况可得oe=5cm,om=12cm，∴em=om oe=17cm.即ab和cd之间的距离为7cm或17cm.三、拓展延伸(10分)10.(10分) 如图，ab和cd分别是⊙o上的两条弦，圆心o到它们的垂线段分别是om和on，如果ab＞cd，om和on的大小有什么关系？为什么？解：om＜on.理由如下：连接oa、oc. 则oa＝oc. ∵on⊥cd, om⊥ab,∴cn＝cd,am＝ab. 又∵ab＞cd,∴cn＜am,∴cn2＜am2.在rt△ocn和rt△oam中，om2＝oa2-am2,on2＝oc2-cn2,∴om2＜on2.∴om＜on.。